22.04.2020Г.   11 КЛАСС

КРУЖОК "От знаний к успеху"

Тема занятия: Решение стереометрических задач по теме Шар (подготовка к ЕГЭ)

1. Добрый день, ребята. Сегодня мы продолжим рассматривать решение стереометрических задач (задания 8 ЕГЭ) по теме "Шар"

2. Напоминаю: в ЕГЭ 2020 профильного уровня геометрическим телам и объектам в пространстве (линиям, плоскостям, двугранным углам и пр.) посвящены два задания - 8 (с кратким ответом) и 14 (с развёрнутым решением). Они могут различаться по трудности, но по набору рассматриваемых объектов практически неотличимы. В обоих есть тела вращения и многогранники, сечения и проекции, требования определить размеры отдельных элементов - ребер, углов, радиусов оснований и т.д. - и общие характеристики тел, такие как объём, площадь всей или боковой поверхности и пр. Только задание 14 чуть комплекснее, т.е. содержит больше задач на сочетание различных тел, чем предыдущее по номеру.

3. Настоятельно рекомендую повторить теоретический материал по теме:

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем заданного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а заданное расстояние - его радиусом.

Сферой называется замкнутая поверхность, все точки которой находятся на заданном расстоянии от данной точки, называемой её центром. Заданное расстояние называется её радиусом

Таким образом, чтобы не смущал вопрос "Чем сфера отличается от шара?", зрительно представьте себе, что сфера это "полый шар" или шар это "заполненная сфера". Более строго математическим языком можно сказать так:

"Часть пространства, ограниченная сферой и содержащая её центр, называется шаром." Или так: "Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой."

Теперь, когда мы разобрались с шаром и сферой, мы понимаем, что понятия объём, сегмент, сектор, слой относятся к шару. (Шаровой сегмент, шаровой сектор, шаровой слой.) Понятия площадь, координаты и т.п. относятся к сфере. (Существует целая сферическая геометрия, которая изучает геометрические образы находящиеся на сфере так же, как планиметрия - на плоскости. В частности, с понятием сферических координат вы впервые познакомились на географии: широта и долгота. Координатная сетка состоит из меридианов и параллелей.)
Центр, радиус, диаметр (отрезок, соединяющий две точки сферы, и проходящий через центр), сечения есть и у шара, и у сферы.

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Сравните "Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность."

Большим кругом (или большой окружностью) называется сечение плоскостью, проходящей через центр.

Обратите внимание: Шар - предельно симметричное тело. Любой диаметр - ось симметрии. Любой большой круг - плоскость симметрии. Таким образом, шар имеет бесконечное число осей симметрии и бесконечное число плоскостей симметрии. Поэтому задачи с ним очень легко решать с помощью построения плоских сечений. Выбирай любое удобное и переходи к планиметрической задаче.

Пример 1

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите площадь его поверхности.

Многогранник описан около сферы, следовательно, многогранник снаружи, сфера внутри, и все грани многогранника являются касательными плоскостями сферы.

Прямоугольный параллелепипед является 6-тигранником, имеет 3 пары параллельных граней и прямые двугранные углы. У прямоугольного параллелепипела есть центр - точка пересечения диагоналей - и, как минимум, три плоскости симметрии, проходящие через его центр параллельно граням.

Решение

Совместим центр шара и центр параллелепипеда и построим сечения упомянутыми плоскостями симметрии параллелепипеда. Они же будут и плоскостями симметрии сферы.

Одна из этих плоскостей, параллельна основаниям. Вторая представлена на рисунке ниже. О третьей подумайте самостоятельно.

В каждой их этих плоскостей сечением сферы будет большая окружность, а сечением параллелепипеда - прямоугольник. При построении этого прямоугольника убеждаемся, что касаться окружности его стороны будут тогда и только тогда, когда они равны между собой и равны диаметру окружности, т.е. в сечении получится квадрат со стороной 2R, где R - радиус сферы. Иначе не будут соблюдены определения плоскостей и прямых касательных к сфере и к окружности.

Таким образом, делаем вывод, что из всех прямоугольных параллелепипедов описать вокруг сферы можно только куб. Из рисунка получаем, что ребро куба равно диаметру сферы.

Проводим вычисления:

Радиус сферы R = 1. Значит сторона квадрата равна 2. Площадь одной из граней, площадь квадрата, равна 4. А площадь поверхности всего куба – это суммарная площадь всех шести граней, т.е. 6×4 = 24. Ответ:24
Замечания

1) В тексте задания (особенно для базового уровня) часто присутствует рисунок. Иногда составители его туда помещают формально, иногда - в качестве подсказки или намёка к решению. Иногда чертёж при решении задачи действительно необходим, иногда достаточно вспомнить готовую формулу и можно ничего не рисовать. В любом случае на этапе подготовки к экзамену чертёж нужно делать всегда и самостоятельно, чтобы набить руку. Поэтому далее все условия задач без чертежа.

23.04.2020г. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЗАНЯТИЯ

2) В задачах по стереометрии особое значение имеет доказательство каждого утверждения. В заданиях этой группы (задания с коротким ответом) ваших доказательств проверять никто не будет, кроме вас самих! Но они нужны. Ведь без ответа на вопрос "Почему так?" не может быть уверенности, что задача решена верно.

В этой задаче ответы на все "почему" сводятся к "по построению", "из соображений симметрии", "потому, что в точках касания радиус перпендикулярен касательной прямой".

Пример 2

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 28. Найдите объём конуса.

Теперь проверьте себя.

Задача 1

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 6. Найдите объём шара.

Задача 2

Куб вписан в шар радиуса √3 (корень из трех) _. Найдите объем куба.

В банке заданий ФИПИ задачи по стереометрии ЕГЭ 2020 распределены на две части -задания 8 и 14. Независимо от уровня трудности задачи к стереометрии надо готовиться не по номеру задания, а по типам фигур. Следующие задачи формально относятся к заданию 8. 

Задача 3

Куб описан около сферы радиуса 6,5. Найдите объём куба.

Задача 4

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Задача 5

Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Задача 6

Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Задача 7

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

 Кто будет решать эти задачи, а решать должны все, кто выбрал профильный уровень, т.е. ВСЕ, должны прислать решения с пометкой ШАР 22.04.

УСПЕХОВ!