09.04.2020   11 класс      АЛГЕБРА

ТЕМА УРОКА: Решение неравенств с одной переменной. Равносильность неравенств

1. Добрый день

2. Сегодня мы приступаем к теме «Решение неравенств с одной переменной. Равносильность неравенств». На занятии мы обсудим важное понятие равносильности неравенств. Рассмотрим процесс решения таких неравенств с одной переменной путём замены более сложного неравенства более простым, но равносильным. 

  Определение 1. Понятия неравенства

Рас­смот­рим ре­ше­ние в общем виде:  (1) 

 на­зыва­ет­ся част­ным ре­ше­ни­ем, если 

.

Мно­же­ство всех част­ных ре­ше­ний есть общее ре­ше­ние (или про­сто ре­ше­ние) нера­вен­ства. Ре­шить нера­вен­ство – зна­чит найти его общее ре­ше­ние.

Рас­смот­рим от­ли­чия нера­венств от урав­не­ний:

1.      Имеет бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний (как пра­ви­ло).

2.      Невоз­мож­на про­вер­ка под­ста­нов­кой в ис­ход­ное нера­вен­ство.

По­это­му нера­вен­ства можно ре­шать толь­ко рав­но­силь­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми:

Ре­ше­ние нера­вен­ства за­клю­ча­ет­ся в за­мене ис­ход­но­го нера­вен­ства более про­стым, но рав­но­силь­ным нера­вен­ством.

Опре­де­ле­ние 

Нера­вен­ства  (1) и   (2) на­зы­ва­ют­ся рав­но­силь­ны­ми, если их ре­ше­ния сов­па­да­ют. 

При­мер 1.

1. 

2.  

Мно­же­ства ре­ше­ний сов­па­да­ют. Зна­чит:

 Определение 2. Равносильность неравенств

Прочитайте определение следствия неравенства в учебнике стр 412 (п.1 параграфа 57)

Рас­смот­рим неко­то­рые из рав­но­силь­ных пре­об­ра­зо­ва­ний (теоремы 1 - 6):

1.  

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Рас­смот­рим при­ме­ры, в ко­то­рых можно до­пу­стить ти­по­вые ошиб­ки:

 Пример 2

1. 

«Ре­ше­ние»:

«Ответ»:   , но -10, -11   част­ные ре­ше­ния

Про­бле­ма в умно­же­нии на x. Он мог быть и от­ри­ца­тель­ным, и по­ло­жи­тель­ным. Надо ме­нять знак.? Пра­ви­ло: в нера­вен­ствах нель­зя умно­жать на  х, если его знак не из­ве­стен.

2.  

Ре­ше­ние:  , х = 1

Ответ:  х = 1  (верно)

3. Пра­виль­ное ре­ше­ние: неравенства (2):

      

1.   

                                      Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1

2. 

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 2

Ответ:   

Мы рас­смот­ре­ли важ­ное по­ня­тие рав­но­силь­но­сти нера­венств. 

До­маш­нее за­да­ние: прочитать пункт 1 параграфа 57, запомнить теоретический материал и 

1.      Ре­шить нера­вен­ства:
а)  

б)  

2.      Ре­шить нера­вен­ства:
a)   ;
б)  

3.       № 57.3 (а), 57.10(а)

ЖДУ РЕШЕНИЙ