10 класс, 20.02.2019г. Урок по геометрии

Тема урока: «Понятие многогранника» 

Повторите теоретический материал. Ответы запишите в тетради

1.  Сумма углов треугольников равна…

2.  Свойства углов равнобедренного треугольника при основании.

3.  Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны …

4.  Свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов.

5.  Что называется углом между прямой и плоскостью?

6.  Что называется линейным углом двугранного угла?

2. Ознакомьтесь с информацией:

Геометрическая (пространственная) поверхность ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства. 

Определение: поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником». 

«Многие строения в окружающем нас мире имеют форму многогранников. Поэтому для лучшей эксплуатации и моделирования зданий нужно изучить свойства многогранников.

Многие многогранники изобрел не человек, а создала природа в идее кристаллов (соль – куб; лед, хрусталь – «заточенная» с двух сторон призма)»..

«В мире многогранников» Многие строения в окружающем нас мире, в частности пирамида Хеопса, имеют форму многогранников. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не слу­чайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а грече­ская архитектура – внешнее выраже­ние геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой ар­хитектора» – это высказывание принадлежит великому французскому архитектору нашего столетия Ле Корбюзье (1887–1965).

Многогранники выделяются среди пространственных фигур как фигуры, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника. Примерами многогранников являются:

 параллелепипед – многогранник, поверхность которо­го состоит из шести параллелограммов;

 прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого грани –прямоугольники;

 куб – многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов;

 призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух рав­ных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями;

 прямая призма – призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники;

 правильная призма – прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники;

 пирамида – многогранник, поверхность которого со­стоит из многоугольника, называемого основанием пира­миды, и треугольников, имеющих общую вершину, назы­ваемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина треугольников называется вершиной пирамиды;

 правильная пирамида – пирамида, в основании кото­рой правильный многоугольник, и все боковые ребра рав­ны;

 усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n-четырёхугольников (боковые грани).

Задание: найдите изображения всех этих многогранников.

 В школе изучаются многогранники, Эйлерова характеристика которых равна 2. Теорема Эйлера (найти формулировку данной теоремы  в интернет –ресурсах, литературе). 

Задание: заполните таблицу:

№	Наименование многогранника	Число вершин	Число ребер	Число граней	Эйлерова характеристика
1	Тетраэдр
2	Параллелепипед
3	Куб

  Сделайте выводы, как подсчитать число вершин, ребер и граней для любой пирамиды и любой призмы. Заполнить таблицу

5	п–угольная пирамида	п + 1	2п	п + 1	п+1–2п+п+1=2
6	п – угольная призма	2п	3п	п + 2	2п-3п+п+2 = 2

Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году. Оно верно для произвольного выпуклого многогранника.

Существуют также невыпуклые многогранники. 

В любом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600. Доказать это можно с помощью разверток. 

Контрольные вопросы

1)  Объясните, что такое: а) многогранник; б) поверхность многогранника.

2)  Какой многогранник называется выпуклым?

3)  Дан куб. Как, имея пилу, получить из деревянного куба модель невыпуклого многогранника?

4)  Дан квадрат. На нем как на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

5)  Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

Домашнее задание

1)Вопросы 1,2 к гл.3, выучить элементы многогранников, определение многогранника.

2. прочитать пункты 27-29

3 Теорема Эйлера (найти формулировку данной теоремы). )

Подготовьте сообщения:

 «Параллелепипед и его составляющие» (Логинов М.)

 «Тетраэдр и его составляющие» (Амантаева А.)

«Куб и его составляющие» (Хачатрян М).