10 класс,
20.02.2019г. Урок по геометрии
Тема урока:
«Понятие многогранника»
Повторите теоретический материал. Ответы запишите
в тетради
1. Сумма углов
треугольников равна…
2. Свойства углов
равнобедренного треугольника при основании.
3. Острые углы
равнобедренного прямоугольного треугольника равны …
4. Свойство катета,
лежащего против угла в 30 градусов.
5. Что называется
углом между прямой и плоскостью?
6. Что называется
линейным углом двугранного угла?
2. Ознакомьтесь с
информацией:
Геометрическая
(пространственная) поверхность ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной
части пространства.
Определение: поверхность,
составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело,
называют многогранной поверхностью или многогранником».
«Многие строения в
окружающем нас мире имеют форму многогранников. Поэтому для лучшей эксплуатации
и моделирования зданий нужно изучить свойства многогранников.
Многие многогранники
изобрел не человек, а создала природа в идее кристаллов (соль – куб; лед,
хрусталь – «заточенная» с двух сторон призма)»..
«В
мире многогранников» Многие строения в окружающем нас мире, в частности
пирамида Хеопса, имеют форму многогранников. «Только неотступно следуя законам
геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно
говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая
архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль
геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора» –
это высказывание принадлежит великому французскому архитектору нашего столетия
Ле Корбюзье (1887–1965).
Многогранники выделяются среди пространственных фигур как
фигуры, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников,
называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников
называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника. Примерами
многогранников являются:
параллелепипед – многогранник, поверхность которого состоит из шести
параллелограммов;
прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого грани –прямоугольники;
куб – многогранник,
поверхность которого состоит из шести квадратов;
призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух равных
многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых
боковыми гранями;
прямая призма – призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники;
правильная призма – прямая призма, основаниями которой являются правильные
многоугольники;
пирамида – многогранник, поверхность которого состоит из
многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих
общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина
треугольников называется вершиной пирамиды;
правильная пирамида – пирамида, в основании которой правильный многоугольник,
и все боковые ребра равны;
усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники
(нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и
n-четырёхугольников (боковые грани).
Задание: найдите изображения всех этих многогранников.
В школе изучаются
многогранники, Эйлерова характеристика которых равна 2. Теорема Эйлера (найти формулировку данной теоремы в интернет –ресурсах, литературе).
Задание: заполните таблицу:
|
№
|
Наименование многогранника
|
Число вершин
|
Число ребер
|
Число граней
|
Эйлерова характеристика
|
|
1
|
Тетраэдр
|
|
|
|
|
|
2
|
Параллелепипед
|
|
|
|
|
|
3
|
Куб
|
|
|
|
|
Сделайте
выводы, как подсчитать число вершин, ребер и граней для любой пирамиды и любой
призмы. Заполнить таблицу
|
5
|
п–угольная пирамида
|
п + 1
|
2п
|
п + 1
|
п+1–2п+п+1=2
|
|
6
|
п – угольная призма
|
2п
|
3п
|
п + 2
|
2п-3п+п+2 = 2
|
Равенство, которое
выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году. Оно верно для
произвольного выпуклого многогранника.
Существуют также
невыпуклые многогранники.
В любом многограннике
сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600. Доказать это можно
с помощью разверток.
Контрольные вопросы
1) Объясните, что такое: а)
многогранник; б) поверхность многогранника.
2) Какой многогранник
называется выпуклым?
3) Дан куб. Как, имея пилу,
получить из деревянного куба модель невыпуклого многогранника?
4) Дан квадрат. На нем как
на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в
полученном многограннике? Является ли он выпуклым?
5) Два тетраэдра имеют
общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и
граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?
Домашнее задание
1)Вопросы 1,2 к гл.3, выучить элементы
многогранников, определение многогранника.
2. прочитать пункты 27-29
3 Теорема Эйлера (найти формулировку данной теоремы). )
Подготовьте сообщения:
«Параллелепипед
и его составляющие» (Логинов М.)
«Тетраэдр и его составляющие» (Амантаева А.)
«Куб и его составляющие» (Хачатрян М).
раза больше первого? Ответ
выразите в см.
